A Note on a Globally Convergent Newton Method for Solving Monotone Variational Inequalities

R esum e. Il est bien connu que la m ethode de Newton, lorsqu'appliqu ee a un probl eme d'in equation variationnelle fortement monotone, converge localement vers la solution de l'in equation, et que l'ordre de convergence est quadratique. Dans cet article nous mon-trons que la direction de Newton constitue une direction de descente pour un objectif non dii erentiable et non convexe, et ceci m^ eme en l'abscence de l'hypoth ese de monotonie forte. Ce r esultat permet de modiier la m ethode et de la rendre globalement convergente. De plus, sous l'hypoth ese de forte monotonie, les deux m ethodes sont localement equivalentes: il s'ensuit que la m ethode modii ee h erite des propri et es de convergence de la m ethode de Newton: identiication implicite des contraintes actives a la solution (sous l'hypoth ese de stricte compl ementarit e) et ordre de convergence quadratique. Abstract. It is well-known (see Pang and Chan 7]) that Newton's method, applied to strongly monotone variational inequalities, is locally and quadratically convergent. In this paper we show that Newton's method yields a descent direction for a nonconvex, nondiierentiable merit function, even in the abscence of strong monotonicity. This result is then used to modify Newton's method into a globally convergent algorithm by introducing a linesearch strategy. Furthermore, under strong monotonicity (i) the optimal face is attained after a nite number of iterations (ii) the stepsize is eventually xed to the value one, resulting in the usual Newton step. Computational results are presented.